Verified answer

vp này, cậu muốn "đi USA" mình cũng không cản, nhưng mình nói vài câu:

- Trình độ toán học bên đó thua xa VN, cứ đọc các bài đã đưa lên YHĐ USA cũng đủ thấy

- Họ thực dụng và cần bài giải rõ ràng

- Là dòng máu Lạc Hồng nên yêu thhương và giúp đở người VN

-----------------

1) √(1+sin2x) = √(sin²x+cos²x+2sinx.cosx) = √(sinx+cosx)² =

= |sinx+cosx| = √2.|sin(x+pi/4)|

vậy:

√(1+sin2x) = √2.sin(x+pi/4) nếu 0 ≤ x ≤ 3pi/4

√(1+sin2x) = -√2.sin(x+pi/4) nếu 3pi/4 ≤ x ≤ pi

I = ∫√2.sin(x+pi/4)dx [cận 0->3pi/4] - ∫√2.sin(x+3pi/4)dx [cận 3pi/4->pi]

= -√2.cos(x+pi/4) [0 --> 3pi/4] + √2cos(x+pi/4) [3pi/4 --> pi]

= -√2.(-1 -√2/2) + √2(-√2/2 +1) = 2√2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

2) pt <=> 4^|x| - 2.2^|x| - m = 0 (1)

đặt t = 2^|x| , thấy |x| ≥ 0 <=> t = 2^|x| ≥ 2^0 = 1

có pt: t² - 2t - m = 0 (2)

<=> t² - 2t = m

xét f(t) = t² - 2t trên [1,+oo)

f '(t) = 2t - 2 ; f '(t) = 0 <=> t = 1

hs f(t) đồng biến trên [1,+oo) => minf(t) = f(1) = -1

* Nếu m < -1 => (2) không có nghiệm t ≥ 1 => (1) vô nghiệm

* Nếu m = -1: (2) => t = 1 => 2^|x| = 1 <=> x = 0

* Nếu m > -1 => (2) có một nghiệm t > 1 là t = 1+√(m+1)

=> 2^|x| = 1+√(m+1) => x = ± log(2) [1+√(m+1)]

Kết luận:

* nếu m < -1 => pt vn

* nếu m = -1: pt có nghiệm x = 0

* nếu m > -1: pt có hai nghiệm x = ± log(2) [1+√(m+1)]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

3) 3^(x+√(12-3x)) - 81/(m²-1) = 0 đk xác định x ≤ 4

pt <=> 3^[x+√(12-3x)] = 81/(m²-1) = k (1)

đặt y = f(x) = x+√(12-3x)

f '(x) = 1 - 3/2√(12-3x) = [2√(12-3x) - 3]/2√(12-3x)

f '(x) = 0 <=> 2√(12-3x) = 3 <=> 4(12-3x) = 9 <=> x = 13/4

thấy f '(1) = 1/2 > 0

trên (-oo, 13/4) f '(x) > 0 và trên (13/4, 4] f '(x) < 0

hs y = f(x) đồng biến trên (-oo, 13/4), nghịch biến trên (13/4,4)

Limf(x) = Lim(12-4x)/[√(12-3x)-x] = 4

x->-oo

f(13/4) = 19/4 ; f(4) = 0

với k > 0 pt (1): 3^y = k <=> y = log(3) k (1')

dựa vào chiều biến thiên của y ta thấy:

(1) có hai nghiệm x pb <=> 4 < log(3) k < 19/4

<=> 81 < k < 3^(19/4) <=> 81 < 81/(m²-1) < 3^(19/4)

<=> 1 < 1/(m²-1) < cănbbốn(27)

giải ra tìm m

4) 3^(cos²x - mcosx) - 3^(3cos²x+3) = 2cos²x + mcosx + 3

<=> 3^(cos²x-mcosx) + cos²x-mcosx = 3^(3cos²x+3) +3cos²x+3 (1)

Xét hàm f(t) = 3^t + t

f '(t) = 3^t.ln3 + 1 > 0 với mọi t thuộc R

=> f(t) là hàm đồng biến trên R

tính chất của hàm đồng biến (nghịch biến cũng đúng)

f(u) = f(v) => u = v

Từ (1) ta thấy có dạng f(u) = f(v) => u = v

hay cos²x - mcosx = 3cos²x + 3

<=> 2cos²x + mcosx + 3 = 0 (2)

đặt t = cosx , -1 ≤ t ≤ 1 ; ta có pt:

2t² + mt + 3 = 0 (3) ; thấy t = 0 không là nghiệm

(3) <=> (2t²+3)/t = -m <=> 2t + 3/t = -m

Xét hàm g(t) = 2t + 3/t trên [-1,1] \ {0}

g'(t) = 2 - 3/t² = (2t²-3)/t² < 0 với t thuộc TXĐ trên

=> g(t) nghịch biến, lập bảng biến thiên ra ta được thế này:

g(t) lấy giá trị từ g(-1) đến -oo và từ +oo đến g(1)

nói cách khác: g(t) ≤ g(-1) = -5 và g(t) ≥ 5

Tóm lại pt có nghiệm <=> -m ≤ -5 hoặc -m ≥ 5

<=> m ≥ 5 hoặc m ≤ -5

---------------------

Gặp mấy bài này khôn ngoan nhất là lĩnh đi, quả thật không khó nhưng dài dòng theo kiểu cày bừa cũng ngán thiệt

---------------------

vp hok đc phép giải rùi.. bun ghê...... vp lại phải sang YHĐ USA "giải trí" vậy.....