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1º Hallando R^2

1/4 de circulo es parte de un cuadrado

Area de cuadrado= LxL

en el circulo se representa por R que en el cuadrado seria L

Osea

R=L

2º Hallando el π

La 1/4 parte del circulo representa 90º

90º = π radianes

Espero entiendas

--> π x R^2

Recuerdas la fórmula del área del triángulo?

asi es: (base*altura)/2

Imagina que has dividido el círculo en muchisimos triangulos, iscritos en la circunferencia, cada uno formado por dos radios equidistantes, las bases de estos triángulos serían tan pequeñitas que prácticamente "descansarían" o estarian muy pegadas a la circunferencia.

Ahora, recuerdas la fórmula del perímetro del circulo?

correcto! es 2*(radio)*(pi) osea 2rπ

ahora calculemos el área total del círculo pero teniendo en cuenta a todos esos pequeños triángulos.

utilizamos la fórmula del área del triángulo pero ahora pensando en que nuestra base el es perímetro y la altura es el radio:

área = (2rπ)(r)/2 = πr^2

Yo tengo una respuesta algo mas estricta, no se si estará al nivel que buscas, pero es una demostracion indiscutible.

Vamos a utilizar como medida de angulo los radianes, que son los unicos que mantienen relacion directa con el arco de cirunferencia que encierran, si A es el arco y α el angulo, se cumple:

A = αR

Donde R es el radio.

Esto se desprende de la propia definicion de radian, es decir, el angulo central en una circunferencia que queda encerrado al coger como longitud de arco la longitud del radio, por tanto, lo anterior es inmediato.

Tambien sabemos que un angulo completo son 2π radianes, ya que, admitiendo que 2πR = L (L es el perimetro de la circunferencia), entonces:

L = αL/2π ⇒ α = 2π

No necesitamos saber mas, ahora integramos en coordenadas polares el area del circulo:

S = ∫∫r drdφ

Los limites en r son de 0 a R (el radio de la circunferencia) y los limites en φ son de 0 a 2π (todo el rollo de antes para justificar este limite), con lo cual esta integral queda:

S = 2πR²/2 = πR²