Verified answer

a)giả sử ma trận A đó có dạng /a b c /

/d e f /

/g h i /

trong đó a,b,c,d,e,f,g,h,i bằng 1 hoặc -1

det(A) = aei - afg - bdi+ bfg +cdh - ceg

nhận thấy các tích 3 số trên chỉ bằng 1 hoặc -1

mà xét tích M=aei.(-afg).(-bdi).bfg.cdh.(-ceg)= -(abcdefghi)^2=-1 suy ra ít nhất 1 trong các tích trên phải bằng 1 do vậy det(A)<=5-1=4

do vậy chỉ cần chỉ ra một định thức cấp 3 mà bằng 4 thì ta có thể kết luận giá trị lớn nhất của các định thức cấp 3 mà các phần tử chỉ có thể là 1 hoặc -1 là 4

điều này rất đơn giản chẳng hạn như định thức sau:/1 -1 1/

/1 1 -1/

/1 1 1/

b)(i)đương nhiên khi A^2 = 0 thì A^k=0 với k>=2(vì 0.B=0 với mọi ma trận cùng cấp)

(ii)mấu chốt là ta chỉ cần chứng minh A^k=0 <=> A^2 =0 là được